题目

题型：门头沟区一模难度：来源：

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ，
（Ⅰ）若f₂₀₁₁（x）=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹，求a₁+a₃+…+a₂₀₀₉+a₂₀₁₁的值；
（Ⅱ）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶项的系数；
（Ⅲ）证明：

C

mm

+2

C

mm+1

+3

C

mm+2

+…+n

C

mm+n-1

=[

(m+1)n+1

m+2

]

C

m+1m+n

．

答案

（Ⅰ）因为f_n（x）=（1+x）ⁿ，
所以f₂₀₁₁（x）=（1+x）²⁰¹¹，
又f₂₀₁₁（x）=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹，
所以f₂₀₁₁（1）=a₀+a₁+…+a₂₀₁₁=2²⁰¹¹（1）
f₂₀₁₁（-1）=a₀-a₁+…+a₂₀₁₀-a₂₀₁₁=0（2）
（1）-（2）得：2（a₁+a₃+…+a₂₀₀₉+a₂₀₁₁）=2²⁰¹¹
所以：a₁+a₃+…+a₂₀₀₉+a₂₀₁₁=f₂₀₁₁（1）=2²⁰¹⁰（2分）
（Ⅱ）因为g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），
所以g（x）=（1+x）⁶+2（1+x）⁷+3（1+x）⁸
g（x）中含x⁶项的系数为1+2×C₇⁶+3C₈⁶=99（4分）
（Ⅲ）设h（x）=（1+x）^m+2（1+x）^m+1+…+n（1+x）^m+n-1（1）
则函数h（x）中含x^m项的系数为C_m^m+2×C_m+1^m+…+nC_m+n-1^m（7分）
（1+x）h（x）=（1+x）^m+1+2（1+x）^m+2++n（1+x）^m+n（2）
（1）-（2）得-xh（x）=（1+x）^m+（1+x）^m+1+（1+x）^m+2++（1+x）^m+n-1-n（1+x）^m+n-xh(x)=

(1+x)m[1-(1+x)n]

1-(1+x)

-n(1+x)m+n
x²h（x）=（1+x）^m-（1+x）^m+n+nx（1+x）^m+n
h（x）中含x^m项的系数，即是等式左边含x^m+2项的系数，
等式右边含x^m+2项的系数为-C_m+n^m+2+nC_m+n^m+1

=- (m+n)! (m+2)!(n-2)! + n(m+n)! (m+1)!(n-1)! = -(n-1)+n(m+2) m+2 × (m+n)! (m+1)!(n-1)!

=

(m+1)n+1

m+2

C

m+1m+n

所以C_m^m+2×C_m+1^m+…+nC_m+n-1^m=

(m+1)n+1

m+2

C

m+1m+n

（13分）