题目

题型：不详难度：来源：

已知

a

=（cosx+sinx，sinx）．

b

=（cosx-sinx，2cosx），设f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）三角形ABC的三个角A，B，C所对边分别是a，b，c，且满足A=

π

3

，f（B）=1，

3

a+

2

b=10，求边c．

答案

（1）∵f（x）=

a

•

b

=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），…（3分）
∴由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ得由f（x）递增得：-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的递增区间是[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z．  …（6分）
（2）由f（B）=1⇒sin（2B+

π

4

）=

2

2

及0＜B＜π得B=

π

4

，…（8分）
设

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k，则

3

ksin

π

3

+

2

ksin

π

4

=10，
∴

5

2

k=10，k=4 …（10分）
所以c=ksinC=4sin（A+B）=4（sin

π

3

cos

π

4

+cos

π

3

sin

π

4

）=

6

+

2

．…（12分）