题目

题型：0117 期末题难度：来源：

已知函数f(x)=ax-lnx，x∈(0，e]，，其中e是自然常数，其近似值为2.71828，a∈R。
（1）当a=1时，求函数f(x)的极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f(x)＞g(x)+；
（3）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

答案

解：（1）f(x)=ax-lnx，，
∴当x∈(0，1)时，，此时f(x)单调递减；
当x∈(1，e)时，，此时f(x)单调递增，
∴f(x)的极小值为f（1）=1.
（2）f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]上的最小值为1， ∴f(x)＞0，，
令，，
当0＜x＜e时，，h(x)在(0，e]上单调递增，
∴，
∴在（1）的条件下，。
（3）假设存在实数，使f(x)=ax-lnx（x∈(0，e]）有最小值3，，
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，，（舍去），所以，此时f(x)无最小值；
②当时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，，，满足条件；
③当时，f(x)在(0，e]上单调递减，，（舍去），
所以，此时f(x)无最小值；
综上，存在实数，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3。