题目

题型：0112 期末题难度：来源：

已知函数f（x）=ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）。
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x²-2x，若对任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围。

答案

解：（x＞0）
（1），解得；
（2）
①当时，
在区间上，，在区间上
故f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是；
②当时，
在区间和上，，在区间上，
故f（x）的单调递增区间是和，单调递减区间是；
③当时，，故f（x）的单调递增区间是；
④当时，
在区间和上，
在区间上
故f（x）的单调递增区间是和，单调递减区间是；
（3）由已知，在上有
由已知，由（2）可知
①当时，f（x）在上单调递增
故
所以，解得
故
②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
故
由可知，，
所以，
综上所述。