题目
题型:江西省模拟题难度:来源:
(1)当a=-4时,求f(x)的最小值;
(2)若函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数,求实数a的取值范围;
(3)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.
答案
当x>1时,f′(x)>0,当0<x<1时,f′(x)<0,
∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴f(x)min=f(1)=3.
(2),
若f(x)在(0,1)上单调递增,则2x2+2x+a≥0在x∈(0,1)上恒成立
在x∈(0,1)上恒成立,
令u=-2x2-2x,x∈(0,1),则,,
∴a≥0;
若f(x)在(0,1)上单调递减,则2x2+2x+a≤0在x∈(0,1)上恒成立;
综上,a的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞).
(3)(2t-1)2+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t2+4t+2alnt-3恒成立,
a[ln(2t-1)-21nt]≥-2t2+4t-2a[ln(2t-1)-lnt2]≥2[(2t-1)-t2],
当t=1时,不等式显然成立;
当t>1时,t2-(2t-1)=t2-2t+1=(t-1)2>0t2>2t-1lnt2>ln(2t-1)
在t>1时恒成立,
令,即求u的最小值,
设A(t2,lnt2),B(2t-1,ln(2t-1)),,
且A、B两点在y=lnx的图象上,
又∵t2>1,2t-1>1,
故0<kAB<,
∴,故a≤2,
即实数a的取值范围为(-∞,2]。
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R),(1)当a=-4时,求f(x)的最小值;(2)若函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数,求实数a的取值范围;】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大?并求最大面积;
(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子体积最大?并求最大体积.
(1)当a=3时,求f(x)的零点;
(2)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值。
(1)求抛物线C的方程;
(2)若以AB为直径的圆与x轴相切,求该圆的方程;
(3)若直线l与y轴负半轴相交,求△AOB面积的最大值.
(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围。
(1)令g(x)=xf"(x)(x>0),求g(x)的最小值并比较g(x)的最小值与0的大小;
(2)证明:当x>1时,恒有x>ln2x-2alnx+1。
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