题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，
（1）将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）如图，由题意知AC⊥BC，
，
，
其中当时，y=0.065，
所以k=9，
所以y表示成x的函数为。 （2），
，
令y′=0得，
所以，即，
当时，，即y′＜0，
所以函数为单调减函数；
当时，，即y′＞0，
所以函数为单调增函数，
所以当时，即当C点到城A的距离为时，
函数有最小值。