题目

题型：高考真题难度：来源：

已知函数f(x)=ln(1+x)-x，g(x)=xlnx，
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)+g(b)-2g()＜(b-a)ln2。

答案

(Ⅰ)解：函数f(x)的定义域是(-1，+∞)，，
令f′(x)=0，解得x=0，
当-1＜x＜0时，f′(x)＞0，当x＞0时，f′(x)＜0，
又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0。
(Ⅱ)证明：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=，
由(Ⅰ)的结论知ln(1+x)-x＜0(x＞-1，且x≠0)，
由题设0＜a＜b，得，
因此，
所以，
又，
，
综上0＜g(a)+g(b)-2g()＜(b-a)ln2。