题目
题型:天津月考题难度:来源:
(Ⅰ)求h(x)的单调区间;
(Ⅱ)若在y=h(x)在x∈(0,3]的图象上存在一点P(x0,y0),使得以P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≥成立,求实数a的最大值;
(Ⅲ)是否存在实数m,使得函数y=g()+m-1的图象于y=f(x2+1)的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由。
答案
解:(Ⅰ),其定义域为(0,+∞),
,
令,则x=a,
于是,当x>a时,h′(x)>0,h(x)为增函数,
当0<x<a时,h′(x)<0,h(x)为减函数,
所以h(x)的单调增区间是(a,+∞),单调减区间是(0,a);
(Ⅱ)因为,
所以在区间x∈(0,3]上存在一点P(x0,y0),
使得以P(x0,y0)为切点的切线的斜率,
等价于,
因为,
所以在x∈(0,3]的最大值为,
于是a≤,a的最大值为。
(Ⅲ)若的图象与的图象恰好有四个不同的交点,
即有四个不同的根,亦即方程有四个不同的根。
构造函数,
则F(x)的图象与x轴有四个不同的交点,,
令,
当x变化时F′(x)和F(x)的变化情况如下表:
所以当且即时,F(x)的图象与x轴有四个不同的交点,
解得,
所以存在使得两个函数的图像恰好有四个不同的交点。
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx,g(x)=(a>0),设h(x)=f(x)+g(x),(Ⅰ)求h(x)的单调区间;(Ⅱ)若在y=h(x)在x∈(0,3]的图象上存在一】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求实数a,b的值;
(2)对任意x1,x2∈[-1,1],不等式f(x1)+k<g(x2)恒成立,求实数k的取值范围。
(Ⅰ)求函数f(x)在[1,3]上的最小值;
(Ⅱ)若存在x∈(e为自然对数的底数,且e=2.71828…)使不等式2 f(x)≥-x2+ax-3成立,求实数a的取值范围。
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若1≤x≤3时,方程f(x)+m=0有两个根,求实数m的取值范围。
(Ⅰ)试将y表示成关于x的函数;
(Ⅱ)需要修建多少个增压站才能使y最小?
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求f(x)的最小值;
(III)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围。
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