题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

已知二次函数f（x）=x²+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C，
（Ⅰ）求集合C；
（Ⅱ）若方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞0，a≠1）在C上有解，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记f（x）在C上的值域为A，若，x∈[0，1]的值域为B，且，求实数t的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）f（x）+f（-x）=2x²，
当x ≥0时，；
当x＜0时，；
∴集合C=[-1 ，1] 。
（Ⅱ），
令a^x=u，
则方程为h（u）=u²-（a-1）u-5=0，h（0）=-5，
当a＞1时，，h（u）=0在上有解，
则；
当0＜a＜1时，，g（u）=0在上有解，
则；
∴当或a≥5时，方程在C上有解，且有唯一解。
（Ⅲ），g′（x）=3x²-3t，
①当t≤0时，g′（x）≥0，函数在x∈[0，1]单调递增，
∴函数g（x）的值域，
，
∴，解得，即；
②当t ≥1，g′（x ）≤0 ，函数g（x）在区间[0，1] 单调递减，
，
∴，
又t≥1，
所以t≥4；
③当0＜t＜1时，令g′（x）=0得（舍去负值），
当时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在单调递增，在单调递减，g（x）在达到最小值；
要使，则，无解；
综上所述：t的取值范围是。