题目

题型：天津月考题难度：来源：

已知f（x）是二次函数，f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（1）求f（x）的解析表达式；
（2）设t＞0，曲线C：y=f（x）在点P（t，f（t））处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S（t）．求S（t）的最小值．

答案

解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（其中a≠0），则f"（x）=2ax+b，
f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+a+b+c．
由已知，得2ax+b=（a+1）x²+（2a+b）x+a+b+c，
∴，解之，得a=﹣1，b=0，c=1，
∴f（x）=-x²+1．
（2）由（1）得，P（t，1-t²），
切线l的斜率k=f"（t）=-2t，
∴切线l的方程为y-（1-t²）=-2t（x-t），
即y=-2tx+t²+1．
从而l与x轴的交点为，
l与y轴的交点为B（0，t²+1），
∴（其中t＞0）．
∴．
当时，S"（t）＜0，S（t）是减函数；
当时，S"（t）＞0，S（t）是增函数．
∴．