题目
题型:河北省模拟题难度:来源:
(Ⅰ) 当a=-1时,求f(x)的最大值;
(Ⅱ) 若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值;
(Ⅲ) 当a=-1 时,试推断方是否有实数解.
答案
f′(x)′=
当0<x<1时,f′(x)>0;
当x>1时,f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数
f(x)max=f(1)=-1
(2) ∵f′(x)′=a+,x∈(0,e],
① 若a≥-,则f′′(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上增函数
∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0.不合题意
② 若,则由f′(x)′>0,
即0<x<
由f(x)<0,即<x≤e.
从而f(x)在上增函数,在为减函数
∴
令-1+ln,则ln=-2
∴,即a=.
∵
∴a=-e2
(3) 由(1)知当a=-1时f(x)max=f(1)=-1,∴|f(x)|≥1
又令,
令g′(x)=0,得x=e,
当0<x<e时,g′(x)>0,g(x) 在(0,e)单调递增;
当x>e时,g′(x)<0,g(x) 在(e,+∞)单调递减
∴
∴g(x)<1
∴|f(x)|>g(x),即|f(x)|>
∴方程|f(x)|=没有实数解.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数,设e为自然对数的底数.(Ⅰ) 当a=-1时,求f(x)的最大值;(Ⅱ) 若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)用实数a来表示实数b,并求a的取值范围;
(2)当x∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为,求a的值;
(3)设A(﹣1,f(﹣1)),B(2,f(2)),A,B两点的连线斜率为k.求证:必存在x0∈(﹣1,2),使f"(x0)=k.
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式.
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
B.﹣29
C.﹣5
D.以上都不对
(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1;
(2)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费),请你重新设计切、焊方法,使材料浪费减少,而且所得长方体容器的容积V2>V1.
(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x) 的最小值;
(Ⅱ)当 a≠0 时,讨论函数 f(x) 的单调性;
(Ⅲ)是否存在实数a,对任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有,恒成立,若存在求出a的取值范围,若不存在,说明理由.
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