题目

题型：安徽省模拟题难度：来源：

已知函数 ，a∈R．
（Ⅰ）当 a=1 时，求函数 f（x） 的最小值；
（Ⅱ）当 a≠0 时，讨论函数 f（x） 的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x_1^≠x₂，有，恒成立，若存在求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

答案

解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=1 时，
∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，x∈（2，+∞），f"（x）＞0．
∴f（x）在x=2时取得极小值且为最小值，其最小值为 f（2）=﹣2ln2
（Ⅱ）∵，
∴（1）当﹣2＜a≤0时，若x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（﹣a，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当a=﹣2时，x∈（0，+∞）时，f（x）为增函数；
（3）当a＜﹣2时，x∈（0，2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（2，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数
（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的 x₁，x_2^∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
有恒成立，
不妨设0＜x₁＜x₂，只要，
即：f（x₂）﹣ax₂＞f（x₁）﹣ax₁
令g（x）=f（x）﹣ax，只要 g（x）在（0，+∞）为增函数
又函数．
考查函数
要使g"（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
只要﹣1﹣2a≥0，即，
故存在实数a时，
对任意的 x₁，x_2^∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
有恒成立