题目

题型：江苏期末题难度：来源：

已知函数f（x）=mx³+nx²的图象在点（﹣1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行．
（1）求函数f（x）在[﹣4，0]的值域；
（2）若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，求实数t的取值范围．

答案

解：由已知条件得f"（x）=3mx²+2nx，
由f"（﹣1）=3，
∴3m﹣2n=﹣3．
又f（﹣1）=2，
∴﹣m+n=2，
∴m=1，n=3
∴f（x）=x³+3x²，
∴f"（x）=3x²+6x．
（1）令f"（x）=3x²+6x=0解得x=0或x=﹣2
当x∈[﹣4，﹣2]时，f"（x）＞0，
当x∈[﹣2，0]时，f"（x）＜0
∴f（x）_max=f（﹣2）=4，f（﹣4）=﹣64+48=﹣16，f（0）=0
∴函数f（x）在[﹣4，0]的值域为[﹣16，4]
（2）令f"（x）＜0，即x²+2x＜0，
函数f（x）的单调减区间是（﹣2，0）．
∵f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
则[t，t+1][﹣2，0]
∴实数t的取值范围是[﹣2，﹣1]．