题目

题型：月考题难度：来源：

已知函数f（x）=x³+3ax²+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=x₀处取得最小值，x₀∈（1，3），求a的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）f"（x）=3x²+6ax+3﹣6a
由f（0）=12a﹣4，f"（0）=3﹣6a，
可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3﹣6a）x+12a﹣4，
当x=2时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上
∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）
（Ⅱ）由f"（x）=0得   x²+2ax+1﹣2a=0…（1）
方程（1）的根的判别式
①当时，函数f（x）没有极小值
②当或时，由f"（x）=0得
故x₀=x₂，由题设可知
（i）当时，不等式没有实数解；
（ii）当时，不等式化为，
解得
综合①②，得a的取值范围是