题目

题型：期末题难度：来源：

已知函数f（x）=e^x（x²+ax﹣a），其中a是常数．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数k，使得关于x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）由f（x）=e^x（x²+ax﹣a）可得，f′（x）=e^x[x²+（a+2）x）]，
当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e．
所以 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=4e（x﹣1），
即y=4ex﹣3e．
（Ⅱ） 令f′（x）=e^x[x²+（a+2）x）]=0，
解得x=﹣（a+2）或x=0．
当﹣（a+2）≤0，即a≥﹣2时，在区间[0，+∞）上，f′（x）≥0，
所以f（x）是[0，+∞）上的增函数．
所以方程f（x）=k在[0，+∞）上不可能有两个不相等的实数根．
当﹣（a+2）＞0，即a＜﹣2时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表

由上表可知函数f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（﹣（a+2））=．
因为 函数f（x）是（0，﹣（a+2））上的减函数，是（﹣（a+2），+∞）上的增函数，
且当x≥﹣a时，有f（x）≥e^﹣a（﹣a）＞﹣a．
所以要使方程x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，
k的取值范围必须是（，﹣a]．