题目
题型:高考真题难度:来源:
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;
(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值。
答案
令f′(x)=0,可得x1=-1,x2=a>0
令f′(x)>0,可得x<-1或x>a;
令f′(x)<0,可得-1<x<a
故函数的递增区间为(-∞,-1),(a,+∞),
单调递减区间为(-1,a)。
(2)由(1)知函数在区间(-2,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调递减,从而函数在(-2,0)内恰有两个零点,
∴,
∴,
∴0<a<
∴a的取值范围为;
(3)a=1时,f(x)=,
由(1)知,函数在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,
在(1,2)上单调递增
①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,
在[-1,t+3]上单调递减
因此函数在[t,t+3]上的最大值为M(t)=f(-1)=-,
而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者
由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,
当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),
所以g(t)=f(-1)-f(t)而f(t)在[-3,-2]上单调递增,
因此f(t)≤f(-2)=-,
所以g(t)在[-3,-2]上的最小值为
②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],-1,1∈[t,t+3],
下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小
由f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,
有f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤(t+3)≤f(2)
∵f(1)=f(-2)=-,f(-1)=f(2)=-
∴M(t)=f(-1)=-,m(t)=f(1)=-
∴g(t)=M(t)-m(t)=
综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为。
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0。(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f ′(x)+x+1>0,求k的最大值。
(1)试将y表示成关于x的函数;
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小?
(Ⅰ)当时,讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设g(x)=x2﹣2bx+4.当时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使
f(x1)≥g(x2),求实数b取值范围.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;
(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值。
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