当前位置:高中试题 > 数学试题 > 函数极值与最值 > 已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0。(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围...
题目
题型:高考真题难度:来源:
已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;
(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值。
答案
解:(1)求导函数可得f′(x)=(x+1)(x-a),
令f′(x)=0,可得x1=-1,x2=a>0
令f′(x)>0,可得x<-1或x>a;
令f′(x)<0,可得-1<x<a
故函数的递增区间为(-∞,-1),(a,+∞),
单调递减区间为(-1,a)。
(2)由(1)知函数在区间(-2,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调递减,从而函数在(-2,0)内恰有两个零点,


∴0<a<
∴a的取值范围为
(3)a=1时,f(x)=
由(1)知,函数在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,
在(1,2)上单调递增
①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,
在[-1,t+3]上单调递减
因此函数在[t,t+3]上的最大值为M(t)=f(-1)=-
而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者
由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,
当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),
所以g(t)=f(-1)-f(t)而f(t)在[-3,-2]上单调递增,
因此f(t)≤f(-2)=-
所以g(t)在[-3,-2]上的最小值为
②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],-1,1∈[t,t+3],
下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小
由f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,
有f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤(t+3)≤f(2)
∵f(1)=f(-2)=-,f(-1)=f(2)=-
∴M(t)=f(-1)=-,m(t)=f(1)=-
∴g(t)=M(t)-m(t)=
综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0。(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数f(x)=ex-ax-2。
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f ′(x)+x+1>0,求k的最大值。
题型:高考真题难度:| 查看答案
某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元,铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x3+x万元.设余下工程的总费用为y万元.
(1)试将y表示成关于x的函数;
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小?
题型:同步题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c-16。
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值。
题型:高考真题难度:| 查看答案
已知函数(a∈R).
(Ⅰ)当时,讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设g(x)=x2﹣2bx+4.当时,若对任意x1(0,2),存在x2∈[1,2],使
f(x1)≥g(x2),求实数b取值范围.
题型:同步题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx 。
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;
(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值。
题型:高考真题难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.