题目

题型：期末题难度：来源：

已知函数f（x）=2ax³﹣3x²，其中a＞0．
（Ⅰ）求证：函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f′（x）（x∈[0，1]）在x=0处取得最大值，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）证明：求导函数f′（x）=6x（ax﹣1）．
因为a＞0且x＜0，
所以f′（x）＞0．
所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数．                  
（Ⅱ）解：由题意，g（x）=2ax³+（6a﹣3）x²﹣6x，（x∈[0，1]），
则g′（x）=6[ax²+（2a﹣1）x﹣1]．
令g′（x）=0，即ax²+（2a﹣1）x﹣1=0．①
由于△=4a²+1＞0，可设方程①的两个根为x₁，x₂，
由①得x₁x₂=﹣，
由于a＞0，所以x₁x₂＜0，
不妨设x₁＜0＜x₂，g′（x）=6a（x﹣x₁）（x﹣x₂）．
当0＜x₂＜1时，g（x₂）为极小值，所以在区间[0，1]上，g（x）在x=0或x=1处取得最大值；当x₂≥1时，由于g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，所以最大值为g（0），
综上，函数g（x）只能在x=0或x=1处取得最大值．      
又已知g（x）在x=0处取得最大值，
所以g（0）≥g（1），即0≥8a﹣9，解得a≤，
又因为a＞0，
所以a∈（0，]．