题目
题型:江门二模难度:来源:
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(1)求f3(0);
(2)用n表示fn(0);
(3)设Sn=f2(0)+f3(0)+…+fn+1(0),是否存在n∈N*使Sn最大?证明你的结论.
答案
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1 |
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f2(x)=(
1 |
4 |
1 |
2 |
f3(x)=(-
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8 |
3 |
2 |
1 |
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∴f3(0)=-3.
(2)不失一般性,设函数fn-1(x)=(an-1x2+bn-1x+cn-1)eλx,导函数为fn(x)=(anx2+bnx+cn)eλx,
其中n=1,2,…,常数λ≠0,a0=1,b0=c0=0.
对fn-1(x)求导得:fn-1′(x)=[λan-1x2+(2an-1+λbn-1]x+(bn-1+λcn-1)]eλx,
故由fn-1′(x)=fn(x)得:an=λan-1 ①,
bn=2an-1+λbn-1 ②,
cn=2bn-1+λcn-1 ③
由①得:an=λn,n∈N,
代入②得:bn=2λn+λbn-1,即
bn |
λn |
2 |
λ |
bn-1 |
λn-1 |
故得:bn=2n•λn-2+λcn-1.
代入③得:cn=2nλn-2+λcn-1,即
cn |
λn |
2n |
λ2 |
cn-1 |
λn-1 |
故得:cn=n(n-1)•λn-2,
因此fn(0)=cn=n(n-1)λn-2.
将λ=-
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1 |
2 |
(3)由(2)知fn+1(0)=n(n+1)(-
1 |
2 |
当n=2k(k=1,2,…)时,S2k-S2k-1=f2k+1(0)=2k(2k+1)(-
1 |
2 |
∴S2k-S2k-1<0,S2k<S2k-1故当Sn最大时,n为奇数.
当n=2k+1(k≥2)时,S2k+1-S2k-1=f2k+2(0)+f2k+1(0)
又f2k+2(0)=(2k+1)(2k+2)(-
1 |
2 |
1 |
2 |
∴f2k+2(0)+f2k+1(0)=(2k+1)(2k+2)(-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴S2k+1<S2k-1,因此数列{S2k+1}是递减数列
又S1=f2(0),S3=f2(0)+f3(0)+f3(0)=2,
故当n=1或n=3时,Sn取最大值S1=S3=2.
核心考点
试题【设函数f0(x)=x2•e-12x,记f0(x)的导函数f"0(x)=f1(x),f1(x)的导函数f"1(x)=f2(x),f2(x)的导函数f"2(x)=f】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
3 |
A.[-1,1] | B.[-2,2] | C.[-
| D.[-
|
A.f(1)>e•f(0),f(2012)>e2012•f(0) |
B.f(1)<e•f(0),f(2012)>e2012•f(0) |
C.f(1)>e•f(0),f(2012)<e2012•f(0) |
D.f(1)<e•f(0),f(2012)<e2012•f(0) |
1 |
6 |
f(x) |
ex |
A.f(1)=ef(0) | B.f(1)<ef(0) | C.f(1)>ef(0) | D.不能确定 |
cosx |
1-x |
A.
| B.
| ||||
C.
| D.
|
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