题目

题型：江西省同步题难度：来源：

已知函数f（x）=kx³﹣3kx²+b，在[﹣2，2]上最小值为﹣17，最大值为3，求k、b的值．

答案

解：由题设知k≠0且f"（x）=3kx（x﹣2）
0＜x＜2时，x（x﹣2）＜0；
x＜0或x＞2时，x（x﹣2）＞0；
x=0和x=2时，f"（x）=0．
由题设知﹣2≤x≤2，f（﹣2）=﹣20k+b，f（0）=b，f（2）=﹣4k+b
①k＜0时，﹣2＜x＜0时，f"（x）＜0；0＜x＜2时，f"（x）＞0，
∴f（x）在（﹣2，0）上单减，在（﹣2，2）和上单增，
x=0为f（x）的极小值点，也是最小值点；
∵f（﹣2）＞f（2）
∴f（x）的最大值是f（﹣2）
解，解得k=﹣1，b=﹣17
②k＞0时，﹣2＜x＜0时，f"（x）＞0；0＜x＜2时，f"（x）＜0，
∴f（x）在（﹣2，0）上单增，在（﹣2，2）和上单减
x=0为f（x）的极大值点，也是最大值点；
∵f（﹣2）＜f（2）
∴f（x）的最小值是f（﹣2）
解，解得k=1，b=3
综上，k=﹣1，b=﹣17或k=1，b=3