题目
题型:北京市月考题难度:来源:
(Ⅰ)求g(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论g(x)与的大小关系;
(Ⅲ)是否存在x0>0,使得|g(x)﹣g(x0)|<对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在请说明理由.
答案
∴g′(x)=,令g′(x)=0,得x=1,
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故g(x)的单调递减区间是(0,1),
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故g(x)的单调递增区间是(1,+∞),
因此x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,
∴最小值为g(1)=1;
(Ⅱ)=﹣lnx+x,
设h(x)=g(x)﹣=2lnx﹣x+,
则h′(x)=,
当x=1时,h(1)=0,即g(x)=,
当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0,
因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减,
当0<x<1,时,h(x)>h(1)=0,即g(x)>,
当x>1,时,h(x)<h(1)=0,即g(x)<,
(Ⅲ)满足条件的x0 不存在.证明如下:证法一 假设存在x0>0,
使|g(x)﹣g(x0)|<成立,即对任意x>0,
有 ,(*)但对上述x0,取 时,
有 Inx1=g(x0),这与(*)左边不等式矛盾,
因此,不存在x0>0,使|g(x)﹣g(x0)|< 成立.
证法二 假设存在x0>0,使|g(x)﹣g(x0)|成<立.
由(Ⅰ)知, 的最小值为g(x)=1.
又>Inx,
而x>1 时,Inx 的值域为(0,+∞),
∴x≥1 时,g(x)的值域为[1,+∞),从而可取一个x1>1,
使 g(x1)≥g(x0)+1,即g(x1)﹣g(x0)≥1,
故|g(x1)﹣g(x0)|≥1>,与假设矛盾.
∴不存在x0>0,使|g(x)﹣g(x0)|<成立.
核心考点
试题【设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f′(x)=,g(x)=f(x)+f′(x).(Ⅰ)求g(x)的单调区间和最小值;(Ⅱ)讨论g(x)与的】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
2 |
t |
A.1 | B.2 | C.3 | D.6 |
1 |
2 |
π |
2 |
x2 |
2 |
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