横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是______．魔方格

答案

如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y．由题意知，当xy²取最大值时，横梁的强度最大．
∵y²=d²-x²，
∴xy²=x（d²-x²）（0＜x＜d）．
令f（x）=x（d²-x²）（0＜x＜d），
得f′（x）=d²-3x²，令f′（x）=0，
解得x=

或x=-

（舍去）．
当0＜x＜

时，f′（x）＞0；当

＜x＜d时，f′（x）＜0，
因此，当x=

时，f（x）取得极大值，也是最大值．
故答案为：

d．

核心考点

试题【横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是______．】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

设函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥a x成立，则实数a的取值范围为______．

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f(x)=x+

+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[

，2]，不等式f（x）≤10在[

，1]上恒成立，求b的取值范围．

题型：天津难度：| 查看答案

若函数 f(x)=

x3-x在区间（1-a，10-a²）上有最小值，则实数a的取值范围是______．

题型：不详难度：| 查看答案

某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个圆柱和一个半球组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为34πcm³．设圆柱的底面直径为4x（cm），工艺品的表面积为S（cm²）．
（1）试写出S关于x的函数关系式；
（2）怎样设计才能使工艺品的表面积最小？魔方格

题型：江苏模拟难度：| 查看答案

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

题型：攀枝花二模难度：| 查看答案

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