题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x²e^-ax（a＞0），求函数在[1，2]上的最大值．

答案

∵f′（x）=2xe^-ax+x²（-a）e^-ax=e^-ax（-ax²+2x）（2分）
令f′（x）＞0，∵e^-ax＞0（3分）
∴-ax²+2x＞0，解得0＜x＜

2

a

（4分）
∴f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）内是减函数，在（0，

2

a

）内是增函数．（6分）
①当0＜

2

a

＜1，即a＞2时，f（x）在（1，2）内是减函数．
∴在[1，2]上f_max（x）=f（1）=e^-a；（8分）
②当1≤

2

a

≤2，即1≤a≤2时，f（x）在（1，

2

a

）内是增函数，在（

2

a

，2）内是减函数．
∴在[1，2]上fmax（x）=f（

2

a

）=4a^-2e-2；（10分）
③当

2

a

＞2即0＜a＜1时，f（x）在（1，2）是增函数．
∴在[1，2]上f_max（x）=f（2）=4e^-2a．（12分）
综上所述，当0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上的最大值为4e^-2a；
当1≤a≤2时，f（x）在[1，2]上的最大值为4a^-2e^-2；
当a＞2时，f（x）在[1，2]上的最大值为e^-a．（13分）