题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)如果对任意x∈[2,+∞),不等式f(x)>x+x2恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N*,求证:(
1 |
n |
2 |
n |
3 |
n |
n |
n |
e |
e-1 |
答案
当a≤0时,f′(x)>0,得函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
当a>0时,若x∈(lna,+∞),f′(x)>0,得函数f(x)在(lna,+∞)上是增函数;
若x∈(-∞,lna),f′(x)<0,得函数f(x)在(-∞,lna)上是减函数.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞);当a>0时,函数f(x)的单调递增区间是(lna,+∞),单调递减区间是(-∞,lna).
(Ⅱ)由题意知:不等式ex-ax>x+x2对任意x∈[2,+∞)成立,即不等式a<
ex-x2-x |
x |
设g(x)=
ex-x2-x |
x |
(x-1)ex-x2 |
x2 |
再设h(x)=(x-1)ex-x2,得h′(x)=x(ex-2).
由x≥2,得h′(x)>0,即h(x)在[2,+∞)上单调递增,
∴h(x)≥h(2)=e2-4>0,进而g′(x)=
h(x) |
x2 |
∴g(x)在[2,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(2)=
e2 |
2 |
∴a<
e2 |
2 |
e2 |
2 |
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当a=1时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
∴f(x)≥f(0)=1,即ex-x≥1,整理得1+x≤ex.
令x=-
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i |
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i |
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∴(
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n-1 |
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n-2 |
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∴(
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n |
n-1 |
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n-2 |
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n-3 |
n |
1 |
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1-e-n |
1-e-1 |
e(1-e-n) |
e-1 |
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e-1 |
故不等式:(
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n |
3 |
n |
n |
n |
e |
e-1 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)如果对任意x∈[2,+∞),不等式f(x)>x+x2恒成立,求实数a的】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数y=f(x)的最小值;
(2)证明:对任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1) |
x+1 |
(3)对于函数f(x)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函数f(x)图象上存在点M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得点M处的切线l∥AB,则称直线AB存在“伴侣切线”.特别地,当x0=
x1+x2 |
2 |
(1)当x=2时f(x)取得极小值2-2ln2,求a,b的值;
(2)当b=-1时,若在区间(0,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围.
1 |
3 |
4 |
3 |
(Ⅰ)求f(x);
(Ⅱ)求函数f(x)在[-4,3]上的最大值和最小值.
1 |
3 |
A.、f(1),f(-1) | B.f(1),f(2) | C.f(-1),f(2) | D.f(2),f(-1) |
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