题目
题型:浙江省期末题难度:来源:
(1)当a=2时,求f(x)的极小值;
(2)若函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+lnx(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同。求证:g(x)的极大值小于等于.
答案
解:(1)当a=2时,f′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2),
列表如下:
所以,f(x)的极小值为f(2)=。
(2)f′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a),
g′(x)=3x2+2bx-(2b+4)+=,
令p(x)=3x2+(2b+3)x-1,
①当1<a≤2时,f(x)的极小值点x=a,
则g(x)的极小值点也为x=a,
所以,p(a)=0,即3a2+(2b+3)a-1=0,即b=,
此时,g(x)的极大值=g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b=-3+=,
由于1<a≤2,故≤×2--=;
②当0<a<1时,f(x)的极小值点x=1,则g(x)的极小值点为x=1,
由于p(x)=0有一正一负两实根,
不妨设x2<0<x1,所以0<x1<1,即p(1)=3+2b+3-1>0,故b>-,
此时g(x)的极大值点x=x1,
有
综上所述,g(x)的极大值小于等于.
核心考点
试题【已知实数a满足0<a≤2,a≠1,设函数f(x)=x3-x2+ax.(1)当a=2时,求f(x)的极小值; (2)若函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(,2)内单调递减,求a的取值范围。
(Ⅰ)求a的值和b的取值范围;
(Ⅱ)若x1,x2∈[α,β],证明:|f(x1)-f(x2)|≤1。
(Ⅰ)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值;
(Ⅱ)若对任意的x1,x2∈[1,e](e为自然对数的底数)都有f(x1)≥g(x2)成立,求实数a的取值范围。
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