题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知函数f(x)=(2ax-x²)e^ax，其中a为常数，且a≥0。
(Ⅰ)若a=1，求函数f(x)的极值点；
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(，2)内单调递减，求a的取值范围。

答案

解：(Ⅰ)依题意得f(x)=(2x-x²)e^x，
所以，f′(x)= (2- x²)e^x，令f′(x)=0，得x=±，
f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：

 由上表可知，x=-是函数f(x)的极小值点，x=是函数f(x) 的极大值点。
(Ⅱ)，
由函数f′(x)在区间(，2)上单调递减可知：f′(x)≤0对任意x∈(，2)恒成立，
当a=0时，f′(x)=-2x，显然，f′(x)≤0对任意x∈(，2)恒成立； 
当a＞0时，f′(x)≤0等价于ax²-(2a²-2)x-2a≥0，
因为x∈(，2)，不等式ax²-(2a²-2)x-2a≥0等价于，
令，则，
在[，2]上显然有g"(x)＞0恒成立，所以函数g(x)在[，2]单调递增，
所以g(x)在[，2]上的最小值为g（）=0，
由于，f"(x)≤0对任意x∈(，2)恒成立等价于对任意x∈(，2)恒成立，
需且只需，即0≥，解得-1≤a≤1，
因为a＞0，所以，0＜a≤1；
综合上述，若函数f(x)在区间(，2）上单调递减，则实数a的取值范围为0≤a≤1。