题目
题型:广东省模拟题难度:来源:
(Ⅰ)求a的值和b的取值范围;
(Ⅱ)若x1,x2∈[α,β],证明:|f(x1)-f(x2)|≤1。
答案
∴f′(x)=3x2-2x+a,
∵f(x)=x3-x2+ax+b的一个极值点为x=1,
∴ f′(1)=3×12-2×1+a=0,∴a=-1,
∴f′(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),
当时,;当时,;当x>1时,;
∴函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
∵方程ax2+x+b=0的两个实根为α,β,即x2-x-b=0的两根为α,β(α<β),
∴,
∴,
∵函数f(x)在区间[α,β] 上是单调的,
∴区间[α,β]只能是区间之一的子区间,
由于,故,
若α<0,则α+β<1,与α+β=1矛盾;
∴,
∴方程x2-x-b=0的两根为α,β都在区间[0,1]上,
令的对称轴为,
则,解得:,
∴实数b的取值范围是。
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知函数f(x)在区间[α,[α,β]]上单调递减,
∴函数f(x)在区间[α,β]上的最大值为f(α),最小值为f(β),
∵x1,x2∈[α,β],
∴
令,则,
,
设,则,
∵,
∴,
∴,
∴函数在(0,1]上单调递增,
∴h(t)≤h(1)=1,
∴|f(x1)-f(x2)|≤1。
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3-x2+ax+b(a,b∈R)的一个极值点为x=1,方程ax2+x+b=0的两个实根为α,β(α<β),函数f(x)在区间[α,β]上是单】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值;
(Ⅱ)若对任意的x1,x2∈[1,e](e为自然对数的底数)都有f(x1)≥g(x2)成立,求实数a的取值范围。
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调减区间;
(Ⅲ)设,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由。
(Ⅰ)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若存在c,使函数f(x)在区间[m-2,m+2]上单调递增,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若函数f(x)只有一个极值点,且存在t2∈(t1,t1+1),使f′(t2)=0,证明:函数g(x)=f(x)-x2+t1x在区间(t1,t2)内最多有一个零点。
(Ⅰ)当a=时,求f(x)的极值;
(Ⅱ)若f(x)在(-1,1)上是增函数,求a的取值范围.
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