题目
题型:模拟题难度:来源:
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)+t,是否存在实数t,使得曲线y=g(x)与x轴有两个交点,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。
答案
因为f(x)在x=1和x=3处取得极值,
所以x=1和x=3是f"(x)=0的两个根
∴
即
所以;
(2)
令
∴
当x变化时,g"(x),g(x)变化情况如下表:
由上表可知:g(x)极大值=g(3)=t;g(x)极小值=g(1)=
∵
∴由此可知x取足够大的正数时,有g(x)<0;x取足够小的负数时,有g(x)>0
因此,为使曲线y=g(x)与x轴有两个交点,结合g(x)的单调性,必有:g(x)极大值=g(3)=t=0,
或
∴或
所以存在t且t=0或符合题目要求。
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值。(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f(x)+t,是】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值为2,求a、b的值;
(Ⅱ)若f(x)在区间[-1,2]上为减函数且b=9a,求a的取值范围.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当直线y=b与函数y=f(x)的图像有3个交点,求b的取值范围.
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