题目

题型：0127 模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=x³-x²-2a²x+1（a＞0）。
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=0恰有三个交点，求实数a的取值范围。
（3）已知不等式f′（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，求实数x的取值范围。

答案

解：（1）∵
令
则或
∴时，或
∴时，取得极大值
时，取得极小值。
（2）要使函数y=f（x）的图象与直线y=0恰有三个交点，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零
由（1）的极值可得
解之得。
（3）要使对任意都成立
即
∵，
∴
对任意都成立
则x大于的最大值
∵
由，
∴
当且仅当时取等号
∴
故。