题目

题型：高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=ax³-bx²+（2-b）x+1在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，
（Ⅰ）证明a＞0；
（Ⅱ）求z=a+3b的取值范围。

答案

解：求函数f（x）的导数，
（Ⅰ）由函数f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，
知x₁，x₂是的两个根，
所以，
当时为增函数，由得a＞0；
（Ⅱ）在题设下，等价于，
即，
化简得，
此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线，
，

所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：，
z在这三点的值依次为，
所以z的取值范围为。