题目

题型：广东省高考真题难度：来源：

设函数f（x）=x-ln（x+m），其中常数m为整数。
（1）当m为何值时，f（x）≥0；
（2）定理：若函数g（x）在[a，b]上连续，且g（a）与g（b）异号，则至少存在一点x₀∈（a，b），使g（x₀）=0，试用上述定理证明：当整数m＞1时，方程f（x）=0，在[e^-m-m，e^2m-m]内有两个实根。

答案

解：（1）函数f（x）=x-ln（x+m），x∈（-m，+∞）连续，且
，令，得
当x∈（-m，1-m）时，f "（x）＜0，f（x）为减函数，f（x）>f（1-m）
当x∈（1-m，+∞）时，f "（x）>0，f（x）为增函数，f（x）>f（1-m）
根据函数极值判别方法，f（1-m）=1-m为极小值，而且对x∈（-m，+∞）都有f（x）≥f（1-m）=1-m
故当整数m≤1时，f（x）≥1-m≥0。
（2）由（1）知，当整数m>1时，f（1-m）=1-m＜0，
函数f（x）=x-ln（x+m），在上为连续减函数

当整数m＞1时，与异号
由所给定理知，存在唯一的，使
而当整数m>1时，

类似地，当整数m>1时，函数f（x）=x-ln（x+m），在上为连续增函数
且f（1-m）与异号，
由所给定理知，存在唯一的，使
故当m>1时，方程f（x）=0在内有两个实根。