题目

题型：专项题难度：来源：

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n，函数f（x）=px²-（p+q）x+qlnx（其中p，q均为常数，且p＞q＞0），当x=a₁时，函数f（x）取得极小值，点（a_n，2S_n）（n∈N*）均在函数的图象上（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）记b_n=·qⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n。

答案

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=px-（p+q）+，
令f′（x）=0，得x=1或，
∵p＞q＞0，
∴，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在x=1处取得极小值，即a₁=1；
（Ⅱ）依题意，f′（x）+q=2px²+px-p，
，
所以，
由a₁=1，得p=1，
∴
当n≥2时，
①-②，得，
∴，
∴，
由于，∴，
所以{a_n}是以a₁=1，公差为的等差数列，
∴。
（Ⅲ），
由，
所以
由已知p＞q＞0，而由（Ⅱ）知p=1，
∴q≠1，
∴，④
由③-④，得
，
∴。