题目

题型：陕西省模拟题难度：来源：

设函数f(x)=（x²+ax+a）e^-x，其中x∈R，
(Ⅰ)确定a的值，使f(x)的极小值为0；
(Ⅱ)证明：当且仅当a=3时，f（x）的极大值为3。 

答案

解：(Ⅰ)由于，
所以，
令f′(x)=0，解得：x=0或x=2-a，
①当a=2时，f′(x)≤0，此时无极值；
②当0＜2-a，即a＜2时，f′(x)和f(x)的变化如下表1，

此时应有f(0)=0，所以，a=0＜2；
③当0＞2-a，即a＞2时，f′(x)和f(x)的变化如下表2，

此时应有f(2-a)=0，即，
所以必有；
综上所述，当a=0或a=4时，f(x)的极小值为0。
(Ⅱ)若a＜2，则由表1知，应有f(2-a)=3，
即，
∴，
设，则，
由a＜2，故g′(x)＞0，
于是当a＜2时，g(a)＜g(2)=2＜3，即不可能成立；
若a＞2，则由表2知，应有f(0)=3，即a=3；
综上所述，当且仅当a=3时极大值为3。