题目

题型：吉林省期末题难度：来源：

已知函数在x=a处取得极值．
（1）求；
（2）设函数g（x）=2x³﹣3af"（x）﹣6a³，如果g（x）在开区间（0，1）上存在极小值，求实数a的取值范围．

答案

解（1）f"（x）=﹣x²+2bx﹣3a²
由题意知f"（a）=﹣a²+2ba﹣3a²=0则
b=2a
∴
（2）由已知可得g（x）=2x³+3ax²﹣12a²x+3a³则
g"（x）=6x²+6ax﹣12a²=6（x﹣a）（x+2a）
令g"（x）=0，
得x=a或x=﹣2a
若a＞0，当x＜﹣2a或x＞a时，g"（x）＞0；当﹣2a＜x＜a时，g"（x）＜0
所以当x=a时，g（x）有极小值，
∴0＜a＜1
若a＜0，当x＜a或x＞﹣2a时，g"（x）＞0；当a＜x＜﹣2a时，g"（x）＜0
所以当x=﹣2a时，g（x）有极小值，
∴0＜﹣2a＜1
即
所以当或0＜a＜1时，g（x）在开区间（0，1）上存在极小值．