题目
题型:河南省期末题难度:来源:
(1)求b和c
(2)求函数y=f(x)的解析式;
(3)在d为整数时,求过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程.
答案
因为函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,
所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1,x2=2,
所以2b+c+3=0,并且4b+c+12=0,
解得:b=﹣,c=6.
(2)设切点为(x0,y0),
由(1)可得:f"(x)=3x2﹣9x+6,
因为直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点,
所以f"(x0)=6,即x0=3或者x0=0,
当x0=3时,y0=19,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3x2+6x+.
当x0=0时,y0=1,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3x2+6x+1.
(3)由题意可得:f(x)=x3x2+6x+1,并且P(0,1),
设切点的坐标为(x1,y1),所以==…①.
又因为f"(x)=3x2﹣9x+6,所以K切=3x12﹣9x1+6…②,
由①②可得:,
所以切点为(,),所以,
所以切线方程为15x﹣16y+16=0.
所以过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程为15x﹣16y+16=0.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点.(1)求b和c (2)求函】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当b=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数b的取值范围;
(3)当b>0时,讨论函数|f(x)|在区间(0,2)上是否存在极大值,若存在,求出极大值及相应实数b的取值范围.
①“若am2<bm2则a<b”的逆命题为真;
②若f()为f(x)的极值,则f"()=0;
③函数f(x)=x﹣sinx(x∈R))有3个零点;
④对于任意实数x,有f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),且x>0时,f"(x)>0,
g"(x)>0则x<0时f"(x)>g"(x)
其中正确结论的序号是( ).
甲:该函数必有2个极值;
乙:该函数的极大值必大于1;
丙:该函数的极小值必小于1;
丁:方程f(x)=0一定有三个不等的实数根。 这四种说法中,正确的个数是
B.2个
C.3个
D.4个
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