题目

题型：江苏省期末题难度：来源：

已知函数f（x）=e^x﹣bx
（1）当b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围；
（3）当b＞0时，讨论函数|f（x）|在区间（0，2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围．

答案

解：（I）当b=1时f（x）=e^x﹣x，
∴f"（x）=e^x﹣1，
令f"（x）=0，得x=0，
f"（x），f（x）随x的变化情况如下表： 

 f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；
（2）转化为y=ex与y=bx的图象只有一个交点
当b＜0时，作出图象，发现满足要求；
当b≥0时，作出图象，
发现当且仅当y=e^x与y=bx相切时有一个交点
设切点为（x，y），则 ，解得 
所以，b＜0或b=e
（3）f（x）=e^x﹣bx，f"（x）=e^x﹣b，令f"（x）=e^x﹣b=0，则x=lnb
当x∈（﹣∞，lnb）时，f"（x）=ex﹣b＜0，所以f（x）递减；
当x∈（lnb，+∞）时，f"（x）=ex﹣b＞0，所以f（x）递增；
所以，f（x）的最小值为f（lnb）=b﹣blnb=b（1﹣lnb）
当0＜b≤e时，f（lnb）=b（1﹣lnb）≥0，所以f（x）=e^x﹣bx≥0
∴|f（x）|=f（x）=e^x﹣bx，
此时，|f（x）|在（﹣∞，+∞）上无极大值，所以在（0，2）上无极大值
当b＞e时，f（lnb）=b（1﹣lnb）＜0，
∴ ，可得：
若b≥e²，则lnb≥2，此时|f（x）|在（0，2）上无极大值；
若b＜e²，则lnb＜2，此时|f（x）|在（0，2）上有极大值|f（lnb）|=b（lnb﹣1）
综上得：当0＜b≤e或b≥e²时，|f（x）|在（0，2）上无极大值；
当e＜b＜e²时，|f（x）|在（0，2）上有极大值|f（lnb）|=b（lnb﹣1）