题目
题型:浙江省模拟题难度:来源:
(Ⅰ) 当a=2时,求f (x)的极小值;
(Ⅱ)若函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同.
求证:g(x)的极大值小于等于.
答案
列表如下:
所以,f (x)极小值为f (2)=.
(Ⅱ) 解:f ′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).
g ′(x)=3x2+2bx-(2b+4)+=.
令p(x)=3x2+(2b+3)x-1,
(1) 当 1<a≤2时,f (x)的极小值点x=a,
则g(x)的极小值点也为x=a,
所以p(a)=0,即3a2+(2b+3)a-1=0,即b=,
此时g(x)极大值=g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b=-3+ =.
由于1<a≤2,故 ≤2--=
(2) 当0<a<1时,f (x)的极小值点x=1,则g(x)的极小值点为x=1,
由于p(x)=0有一正一负两实根,不妨设x2<0<x1,所以0<x1<1,
即p(1)=3+2b+3-1>0,故b>-.
此时g(x)的极大值点x=x1,
有 g(x1)=x13+bx12-(2b+4)x1+lnx1<1+bx12-(2b+4)x1
=(x12-2x1)b-4x1+1 (x12-2x1<0)<-(x12-2x1)-4x1+1
=-x12+x1+1=-(x1-)2+1+ (0<x1<1)≤<.
综上所述,g(x)的极大值小于等于.
核心考点
试题【已知实数a满足0<a≤2,a≠1,设函数f (x)=x3-x2+ax.(Ⅰ) 当a=2时,求f (x)的极小值;(Ⅱ)若函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数的极大值;
(2)若时,恒有成立,试确定实数的取值范围.
B.f(x)极大值为,极小值为
C.f(x)极大值为,极小值为
D.f(x)极大值为,极小值为
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间.
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