已知函数f(x)=ln(1+2x)-2x+ax2, (1)若a=1,求f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)存在两个极值点,且都小于1,求a的取值范围; (3)若对f(x)定义域内的任意x,不等式f(x)≤0恒成立,求a的取值范围. |
(1)若a=1时,f(x)=ln(1+2x)-2x+x2,∴f′(x)=(x>-). 当x∈(-,0)∪(,+∞),f′(x)>0,则f(x)的单调递增区间为(-,0)和(,+∞); 当x∈(0,),f′(x)<0,则f(x)的单调递减区间为(0,); (2)f′(x)=2•(x>-). 由函数f(x)存在两个极值点,可知a≠2 ∵两个极值点都小于1,结合函数的定义域有-<-<1,解得a> 综上,a>且a≠2; (3)令t=2x,则原不等式等价于ln(1+t)-t≤-at2 t=0,满足题设; t≠0,有≤- ∵ln(1+t)-t<0恒成立 ∴<0 ∴0≤- ∴a≤0. |
核心考点
试题【已知函数f(x)=ln(1+2x)-2x+ax2,(1)若a=1,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)存在两个极值点,且都小于1,求a的取值范围;(3)若】;主要考察你对
函数极值与最值等知识点的理解。
[详细]
举一反三
直线l与函数y=xa(a<0)的图象切于点(1,1),则直线l与坐标轴所围成三角形的面积S的取值范围为( )A.(0,4] | B.(0,2] | C.[4,+∞) | D.[2,+∞) |
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已知函数f(x)=f′(0)cosx+sinx,则函数f(x)在x0=处的切线方程是 ______. |
函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内零点的个数为( ) |
已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+mx+(m<0),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1. (Ⅰ)求直线l的方程及m的值; (Ⅱ)若h(x)=f(x+1)-g′(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数),求函数h(x)的最大值; (Ⅲ)当0<b<a时,比较:a+2af(a+b)与b+2af(2a)的大小. |
已f(x)=x3+ax2+x+bg(x)=x3+m2x-m+1,且函数f(x)在x=处取得极值. (I)求f(x)的解析式与单调区间; (Ⅱ)是否存在实数m,对任意的x1∈[-1,2],都存在x0∈[0,1],使得g(x0)=3f(x1)成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由. |
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