题目
题型:不详难度:来源:
(1)求a,b的值;
(2)求A的取值范围,使不等式f(x)≤A-1992对于x∈[-1,4]恒成立;
(3)令g(x)=-f(x)-3x2+tx+1.是否存在一个实数t,使得当x∈(0,1]时,g(x) 有最大值1?
答案
∵过函数f(x)=x3+ax2+1的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为-3
∴f′(1)=-3,
∴a=-3,
将(1,b)代入函数f(x)=x3-3x2+1,可得b=-1
(2)令h(x)=f(x)+1992,则使不等式f(x)≤A-1992对于x∈[-1,4]恒成立
问题转化为h(x)≤A对于x∈[-1,4]恒成立,从而求h(x)在[-1,4]上的最大值即可.
求导数h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),
则函数在(-1,0),(2,4)上,h′(x)>0,函数为单调增函数,
在(0,2)上,h′(x)<0,函数为单调减函数
∵h(-1)=1987,h(0)=1993,h(4)=2009
∴函数在x=4处取得最大值2009.
故A≥2009
(3)∵g(x)=-f(x)-3x2+tx+1=-x3+tx,∴g′(x)=-3x2+t
当t≤0时,函数单调递减,函数在x∈(0,1]无最大值;
当t∈(0,3)时,函数在x∈(0,1]上先增后减,gmax(x)=g(
|
3 |
2 |
3 | 2 |
当t≥3时,函数在x∈(0,1]上单调递增,∴gmax(x)=g(1)=1,
∵g(x)=-f(x)-3x2+tx+1=-x3+tx,∴t-1=1,
∴t=2,不满足t≥3,舍去
故t=
3 |
2 |
3 | 2 |
核心考点
试题【已知过函数f(x)=x3+ax2+1的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为-3.(1)求a,b的值;(2)求A的取值范围,使不等式f(x)≤A-1992对于x∈】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
x |
x+2 |
x2 |
4 |
1 |
2 |
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