已知函数f（x）=x3-ax2，其中a为实常数．
（1）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）图象上任一点P处的切线的斜线率为k，若k≥-1，求a的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f（x）+a（x2-3x）的最大值． |
（1）∴k=f"（x）=3x2-2ax，x∈（0，1）．
由k≥-1，得3x2-2ax+1≥0，即a≤=(3x+)恒成立
∴a≤（3x+）min
∵当x∈（0，1）时，3x+≥2=2，当且仅当x时取等号．
∴（3x+）min=．故a的取值范围是（-∞，]．
（2）设g（x）=f（x）+a（x2-3x）=x3-3ax，x∈[-1，1]则
g′（x）=3x2-3a=3（x2-a）．
①当a≥1时，∴g′（x）≤0．从而g（x）在[-1，1]上是减函数．
∴g（x）的最大值为g（-1）=3a-1．
②当0＜a＜1时，g′（x）=3（x+）（x-）．
由g′（x）＞0得，x＞或x＜-：由g′（x）＜0得，-＜x＜．
∴g（x）在[-1，-]，[，1]上增函数，在[-，]上减函数．
∴g（x）的极大值为g（-）=2a．
由g（-）-g（1）=2a+3a-1=（+1）2•（2-1）知
当2-1＜0，即0≤a＜时，g（-）＜g（1）
∴g（x）max=g（1）=1-3a．
当2-1≥0，即＜a＜1时，g（-）≥g（1）
∴g（x）max=g（-）=2a．
③当a≤0时，g′（x）≥0，从而g（x）在[-1，1]上是增函数．
∴g（x）max=g（1）=1-3a
综上分析，g（x）max= | | 3a-1，(a≥1) | | 2a，(≤a＜1) | | 1-3a，(a＜) |
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核心考点
试题【已知函数f（x）=x3-ax2，其中a为实常数．（1）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）图象上任一点P处的切线的斜线率为k，若k≥-1，求a的取值范围；（2】；主要考察你对
函数极值与最值等知识点的理解。
[详细]举一反三
| 直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为 ______． |
已知曲线 y=x3+2x-．
（1）求曲线在点P（2，6）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，6）的切线方程． |
| 曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为______． |
已知函数f（x）=（x-1）-alnx
（1）讨论函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）≥0对x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围． |
设m∈R，函数f（x）=x3-mx在x=1处取得极值．求：
（Ⅰ）m的值；
（Ⅱ）函数y=f（x）在区间[-3， ]上的最大值和最小值． |
