题目

题型：天津难度：来源：

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

答案

（Ⅰ）f"（x）=3ax²+2bx-3，依
题意，f"（1）=f"（-1）=0，
即

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0.

解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x，f"（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f"（x）=0，得x=-1，x=1．
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
则f"（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
若x∈（-1，1），
则f"（x）＜0，故f（x）在（-1，1）上是减函数．
所以，f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值．
（Ⅱ）曲线方程为y=x³-3x，点A（0，16）不在曲线上．
设切点为M（x₀，y₀），
则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀．
因f"（x₀）=3（x₀²-1），
故切线的方程为y-y₀=3（x₀²-1）（x-x₀）
注意到点A（0，16）在切线上，有16-（x₀³-3x₀）=3（x₀²-1）（0-x₀）
化简得x₀³=-8，
解得x₀=-2．
所以，切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0．