题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=-b，其中常数a，b∈R，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

答案

（I）因为f（x）=x³+ax²+bx+1，所以f"（x）=3x²+2ax+b．…..（2分）
令x=1得f"（1）=3+2a+b．
由已知f"（1）=2a，所以3+2a+b=2a．解得b=-3．…．（4分）
又令x=2得f"（2）=12+4a+b．
由已知f"（2）=-b，所以12+4a+b=-b，解得a=-

3

2

．…..（6分）
所以f(x)=x3-

3

2

x2-3x+1，f(1)=-

5

2

．…..（8分）
又因为f′(1)=2×(-

3

2

)=-3，…．（10分）
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-(-

5

2

)=-3(x-1)，即6x+2y-1=0．…..（12分）