题目

题型：浙江难度：来源：

已知a是实数，函数f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

答案

（I）f"（x）=3x²-2ax．因为f"（1）=3-2a=3，所以a=0．
又当a=0时，f（1）=1，f"（1）=3，则切点坐标（1，1），斜率为3
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=3（x-1）化简得3x-y-2=0．
（II）令f"（x）=0，解得x1=0，x2=

2a

3

．
当

2a

3

≤0，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而f_max=f（2）=8-4a．
当

2a

3

≥2时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而f_max=f（0）=0．
当0＜

2a

3

＜2，即0＜a＜3，f（x）在[0，

2a

3

]上单调递减，在[

2a

3

，2]上单调递增，从而fmax=

8-4a，0＜a≤2. 0，2＜a＜3.

综上所述，fmax=

8-4a，a≤2. 0，a＞2.