题目

题型：不详难度：来源：

给定函数f(x)=

x3

3

-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+

a2

x

（I）求证：f（x）总有两个极值点；
（II）若f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值．

答案

证明：（I）因为f"（x）=x²-2ax+（a²-1）=[x-（a+1）][x-（a-1）]，
令f"（x）=0，则x₁=a+1，x₂=a-1，------------------------------------------（2分）
则当x＜a-1时，f"（x）＞0，当a-1＜x＜a+1，f"（x）＜0
所以x=a-1为f（x）的一个极大值点，-----------------------（4分）
同理可证x=a+1为f（x）的一个极小值点．-------------------------------------（5分）
另（I）因为f′（x）=x²-2ax+（a²-1）是一个二次函数，
且△=（-2a）²-4（a²-1）=4＞0，-------------------------------------（2分）
所以导函数有两个不同的零点，
又因为导函数是一个二次函数，
所以函数f（x）有两个不同的极值点．---------------------------------------（5分）
（II） 因为g′(x)=1-

a2

x2

=

(x-a)(x+a)

x2

，
令g"（x）=0，则x₁=a，x₂=-a---------------------------------------（6分）
因为f（x）和g（x）有相同的极值点，且x₁=a和a+1，a-1不可能相等，
所以当-a=a+1时，a=-

1

2

，当-a=a-1时，a=

1

2

，
经检验，a=-

1

2

和a=

1

2

时，x₁=a，x₂=-a都是g（x）的极值点．--------------（8分）