题目
题型:山东难度:来源:
(Ⅰ)当b>
1 |
2 |
(Ⅱ)求函数f(x)的极值点;
(Ⅲ)证明对任意的正整数n,不等式ln(
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n |
1 |
n2 |
1 |
n3 |
答案
f′(x)=2x+
b |
x+1 |
2x2+2x+b |
x+1 |
令g(x)=2x2+2x+b,则g(x)在(-
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2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
g(x)=2x2+2x+b>0在(-1,+∞)上恒成立,
所以f"(x)>0即当b>
1 |
2 |
(Ⅱ)(1)由(Ⅰ)知当b>
1 |
2 |
(2)当b=
1 |
2 |
2(x+
| ||
x+1 |
∴x∈(-1,-
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1 |
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∴b=
1 |
2 |
(3)当b<
1 |
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-1-
| ||
2 |
-1+
| ||
2 |
当b<0时,x1=
-1-
| ||
2 |
-1+
| ||
2 |
∴x1∈(-∞,-1),x2∈(-1,+∞),此时f(x)在(-1,+∞)上有唯一的极小值点x2=
-1+
| ||
2 |
当0<b<
1 |
2 |
f"(x)在(x1,x2)上小于0,此时f(x)有一个极大值点x1=
-1-
| ||
2 |
-1+
| ||
2 |
综上可知,b<0,时,f(x)在(-1,+∞)上有唯一的极小值点x2=
-1+
| ||
2 |
0<b<
1 |
2 |
-1-
| ||
2 |
-1+
| ||
2 |
b≥
1 |
2 |
(Ⅲ)当b=-1时,f(x)=x2-ln(x+1).令h(x)=x3-f(x)=x3-x2+ln(x+1),则h′(x)=
3x3+(x-1)2 |
x+1 |
∴h(x)在[0,+∞)上单调递增,
当x∈(0,+∞)时,恒有h(x)>h(0)=0
即当x∈(0,+∞)时,有x3-x2+ln(x+1)>0,ln(x+1)>x2-x3,对任意正整数n,取x=
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n |
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n |
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n2 |
1 |
n3 |
核心考点
试题【设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.(Ⅰ)当b>12时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;(Ⅱ)求函数f(x)的极值点;(Ⅲ)证明对任意的正整】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)若a=1,求b的值;
(2)用a表示b,并求b的最大值.
A.3x-y+1=0 | B.3x+y+1=0 | C.3x-y-1=0 | D.3x+y-1=0 |
x2+y2 |
xy |
(Ⅰ)求过点(-1,
1 |
4 |
(Ⅱ)当x∈(0,+∞),n∈N+时,求证:fn(x)-f(xn)≥2n-2.
A.-9 | B.-3 | C.9 | D.15 |
2 |
3 |
9 |
2 |
A.
| B.
| C.-
| D.-
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