题目
题型:不详难度:来源:
x2+y2 |
xy |
(Ⅰ)求过点(-1,
1 |
4 |
(Ⅱ)当x∈(0,+∞),n∈N+时,求证:fn(x)-f(xn)≥2n-2.
答案
当f(1)=-1时,令y=1得,f(x)=-
x2+1 |
2x |
1 |
2 |
1 |
x |
f′(x)=-
1 |
2 |
1 |
x2 |
由f′(x)=-1得,x2=-1,此方程在D上无解,这说明曲线y=f(x)不存在与直线x+y+1=0平行的切线,不合题意,
则f(1)=2,此时,令y=1得,f(x)=
x2+1 |
x |
1 |
x |
1 |
x2 |
由f′(x)=-1得,x2=
1 |
2 |
设过点(-1,
1 |
4 |
1 |
x0 |
1 |
x02 |
其方程为y-x0-
1 |
x0 |
1 |
x02 |
1 |
4 |
5x02-8x0-4=0,解得x0=-
2 |
5 |
把x0=-
2 |
5 |
21 |
4 |
3 |
4 |
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x+
1 |
x |
fn(x)-f(xn)=(x+
1 |
x |
1 |
xn |
=
C | 1n |
1 |
x |
C | 2n |
1 |
x2 |
C | n-2n |
1 |
xn-2 |
C | n-1n |
1 |
xn-1 |
=
C | 1n |
C | 2n |
C | n-2n |
1 |
xn-4 |
C | n-1n |
1 |
xn-2 |
由x∈(0,+∞),n∈N*知,xn∈(0,+∞),那么
2(fn(x)-f(xn))=
C | 1n |
C | 2n |
C | n-2n |
1 |
xn-4 |
C | n-1n |
1 |
xn-2 |
+
C | n-1n |
1 |
xn-2 |
C | n-2n |
1 |
xn-4 |
C | 2n |
C | 1n |
=
C | 1n |
C | 2n |
C | n-2n |
1 |
xn-4 |
C | n-1n |
1 |
xn-2 |
+
C | 1n |
1 |
xn-2 |
C | 2n |
1 |
xn-4 |
C | n-2n |
C | n-1n |
=
C | 1n |
1 |
xn-2 |
C | 2n |
1 |
xn-4 |
C | n-1n |
1 |
xn-2 |
≥2
C | 1n |
C | 2n |
C | n-1n |
=2(
C | 1n |
C | 2n |
C | n-1n |
=2[(
C | 0n |
C | 1n |
C | 2n |
C | n-1n |
C | nn |
C | 0n |
C | nn |
=2(2n-2)
所以fn(x)-f(xn)≥2n-2.
核心考点
试题【定义在D={x∈R|x≠0}上的函数f(x)满足两个条件:①对于任意x、y∈D,都有f(x)f(y)-f(xy)=x2+y2xy;②曲线y=f(x)存在与直线x】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.-9 | B.-3 | C.9 | D.15 |
2 |
3 |
9 |
2 |
A.
| B.
| C.-
| D.-
|
x2 |
e |
(I)求证:直线m与曲线C1、C2都相切,且切于同一点;
(II)设直线x=t(t>0)与曲线C1、C2及直线m分别交于M、N、P,记f(t)=|MP|-|PN|,求f(t)在[e-3,e3]上的最大值.
A.y=x-1 | B.y=-x+1 | C.y=2x-2 | D.y=-2x+2 |
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)试证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4成立.
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