题目

题型：不详难度：来源：

已知f（x）=x³-3ax-1（a≠0）在x=-1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）求g（x）=

1

3

x³+g′（1）•（1+f′（x））在区间[-1，1]上的最大值和最小值．

答案

（1）f′（x）=3x²-3a，在x=-1处取得极值，则f′（-1）=0．解得a=1
所以f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
（2）g（x）=

1

3

x³+g′（1）•（3x²-2），g′（x）=x²+g′（1）•6x，
令x=1得，g′（1）=1+g′（1）•6，解得g′（1）=-

1

5

所以g′（x）=x²-

6

5

x=x（x-

6

5

）
当-1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）最大值为g（0）=

2

5

，
由于g（-1）=-

8

15

＜g（1）=

2

15

所以g（x）最小值为g（-1）=-

8

15