已知数列{an}的前n项和Sn=（n2+n）•3n．（Ⅰ）求limn→∞anSn；（Ⅱ）证明：a112+a222+…+ann2＞3n． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和S_n=（n²+n）•3ⁿ．
（Ⅰ）求

lim

n→∞

；（Ⅱ）证明：

+…+

＞3ⁿ．

答案

（1）

lim

n→∞

lim

n→∞

Sn-Sn-1

lim

n→∞

(1-

Sn-1

)=1-

lim

n→∞

Sn-1

lim

n→∞

Sn-1

lim

n→∞

n-1

n+1

•

，所以

lim

n→∞

（6分）
（2）当n=1时，

=S1=6＞3；
当n＞1时，

+…+

S2-S1

+…+

Sn-Sn-1

) S1 +(

) S2 +…+(

(n-1)2

)Sn-1+

Sn＞

Sn=

n2+n

•3n＞3n
所以，n≥1时，

+…+

＞3n．（12分）

核心考点

试题【已知数列{an}的前n项和Sn=（n2+n）•3n．（Ⅰ）求limn→∞anSn；（Ⅱ）证明：a112+a222+…+ann2＞3n．】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

若

lim

x→1

(

x-1

x2-1

，则常数a，b的值分别为______．

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函数f(x)=alnx+

x2-(a+1)x在x=1处取到极大值的充要条件是______．

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f(x)=

x2+b

在x=1处取得极值2，问函数f（x）是否还有其它的极值？若有，求出所有极值，若没有，请说明理由．

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若存在常数k和b，使得函数f（x）和g（x）在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知f（x）=x²，g（x）=2elnx．
（I）求F（x）=f（x）-g（x）的极值；
（II）函数f（x）和g（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的方程，若不存在，请说明理由．

题型：昆明模拟难度：| 查看答案

已知函数f(x)=

x2+b

，在x=1处取得极值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）m满足什么条件时，区间（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间？
（Ⅲ）设直线l为曲线f(x)=

x2+b

的切线，求直线l的斜率的取值范围．

题型：不详难度：| 查看答案

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