题目
题型:不详难度:来源:
(1)求函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程;
(2)若k∈Z,且k(x-1)<f(x)对任意x>1恒成立,求k的最大值.
答案
则函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程y-1=2(x-1),即2x-y-1=0;
(2)因为f(x)=x+xlnx,所以k(x-1)<f(x)对任意x>1恒成立,
即k(x-1)<x+xlnx,因为x>1,
也就是k<
x+xlnx |
x-1 |
令g(x)=
x+xlnx |
x-1 |
x-lnx-2 |
(x-1)2 |
令h(x)=x-lnx-2(x>1),则h′(x)=1-
1 |
x |
x-1 |
x |
所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增.
因为h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0,
所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4).
当1<x<x0时,h(x)<0,即g"(x)<0,当x>x0时,h(x)>0,即g"(x)>0,
所以函数g(x)=
x+xlnx |
x-1 |
所以[g(x)]min=g(x0)=
x0(1+inx0) |
x0-1 |
x0(1+x0-2) |
x0-1 |
[g(x)]min=g(x0)=
x0(1+lnx0) |
x0-1 |
x0(1+x0-2) |
x0-1 |
所以k<[g(x)]min=x0
因为x0∈(3,4).故整数k的最大值是3.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x+xlnx.(1)求函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程;(2)若k∈Z,且k(x-1)<f(x)对任意x>1恒成立,求k的最大值.】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
A.
| B.
| C.
| D.
|
①过原点;②在x=0处导数为-1;③在x=1处切线方程为y=4x-3.
(Ⅰ) 求实数a、b、c、d的值;
(Ⅱ)求函数y=ax3+bx2+cx+d的极值.
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