题目
题型:牡丹江一模难度:来源:
1+1nx |
x |
(1)若函数f(x)在区间(a,a+
1 |
3 |
(2)知果当x≥1时,不等式f(x)≥
k |
x+1 |
(3)求证:[(n+1)!]2>(n+1)en-2+
2 |
n+1 |
答案
| ||
x2 |
lnx |
x2 |
f′(x)>0⇔lnx<0⇔0<x<1,
f′(x)<0⇔lnx>0⇔x>1,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,函数f(x)在x=1处取得唯一的极值,
由题意,a>0,且a<1<a+
1 |
3 |
2 |
3 |
所以实数a的取值范围为
2 |
3 |
(2)当x≥1时,f(x)≥
k |
x+1 |
1+lnx |
x |
k |
x+1 |
(x+1)(1+lnx) |
x |
令g(x)=
(x+1)(1+lnx) |
x |
g′(x)=
[(x+1)(1+lnx)]′•x-(x+1)(1+lnx) |
x2 |
x-lnx |
x2 |
令h(x)=x-lnx(x≥1),则h′(x)=1-
1 |
x |
所以h(x)=x-lnx在[1,+∞)上单调递增,h(x)≥h(1)=1>0,
因此g′(x)=
h(x) |
x2 |
所以k≤2;
(3)由(2),当x≥1时,f(x)≥
2 |
x+1 |
1+lnx |
x |
2 |
x+1 |
从而lnx≥1-
2 |
x+1 |
2 |
x |
令x=k(k+1),k∈N+,则有ln[k(k+1)]>1-
2 |
k(k+1) |
分别令k=1,2,3,…,n(n≥2)则有ln(1×2)>1-
2 |
1×2 |
2 |
2×3 |
ln[n(n-1)]>1-
2 |
(n-1)n |
2 |
n(n+1) |
将这个不等式左右两端分别相加,则得,
ln[1×22×32×…×n2(n+1)]>n-2[
1 |
1×2 |
1 |
2×3 |
1 |
n(n+1) |
2 |
n+1 |
故1×22×32×…×n2(n+1)>en-2+
2 |
n+1 |
2 |
n+1 |
当n=1时,不等式显然成立;
所以∀n∈N+,[(n+1)!]2>(n+1)en-2+
2 |
n+1 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=1+1nxx.(1)若函数f(x)在区间(a,a+13)(a>0)上存在极值点,求实数a的取值范围;(2)知果当x≥1时,不等式f(x)≥kx】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求直线l1与l2的方程;
(2)求直线l1,l2与x轴所围成的三角形的面积.
x2 |
2 |
1 |
2 |
π |
2 |
π |
2 |
π |
2 |
A.-2 | B.-1 | C.1 | D.2 |
π |
4 |
A.[-1,-
| B.[-1,0] | C.[0,1] | D.(-∞,-
|
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