已知在函数y=-13x3-2x2+5x的曲线上存在唯一点P（x0，y0），过点P作曲线的切线l与曲线有且只有一个公共点P，则切线l的斜率k=______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知在函数y=-

x3-2x2+5x的曲线上存在唯一点P（x₀，y₀），过点P作曲线的切线l与曲线有且只有一个公共点P，则切线l的斜率k=______．

答案

由题意，y′=-x²-4x+5，∴y″=-2x-4
令y″=0，可得x=-2，则y=-

∴曲线的对称中心为（-2，-

）
∴对称中心处切线l的斜率k=-4+8+5=9，切线方程为y=9x+

与曲线方程联立可得x³+6x²+12x+8=0
∴（x+2）³=0，∴x=-2，
即过点P作曲线的切线l与曲线有且只有一个公共点P
故答案为：9

核心考点

试题【已知在函数y=-13x3-2x2+5x的曲线上存在唯一点P（x0，y0），过点P作曲线的切线l与曲线有且只有一个公共点P，则切线l的斜率k=______．】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知f（x）=3x²-x+m，g（x）=lnx，若函数f（x）与g（x）的图象在x=x₀处的切线平行，则x₀=______．

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求函数f（x）=x²e^x的极值．

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设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d＞0，若a₂=2，a₅=11．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

n+a

(a≠0)，若{b_n}是等差数列且cn=2b2n，求实数a与

lim

n→+∞

c1+c2+…+cn

bn+1

(b∈R)的值．

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曲线y=x³+3x²+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程．

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在曲线y=1-x²（x≥0，y≥0）上找一点（x₀，y₀），过此点作一切线与x轴、y轴围成一个三角形．
（1）求三角形面积S的最小值及相应的x₀；
（2）当三角形面积达到最小值时，求此三角形的外接圆方程．

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